布希內斯克近似 Boussinesq Approximatio - 颱風討論

還是回一篇好了。

既然叫approximation，必定有所簡化。
如果簡化的太過分，譬如說數學考試要你推導，你導出0＝0，
0＝0肯定是對的，只是你的成績也會是0。

Boussinesq想引進"密度＝定值"這個假設來簡化Navior-Stokes Eq，
問題是這會過度簡化方程，以致於無法描述自然現象，
或用另一種說法：得到的解會很無趣。
(還有一個理由是：這麼想當然的假設早就被研究過了，Boussinesq生的太晚了。)

接下來對於Boussinesq Approximation的詮釋是我個人的看法，
其他人可能會有其它說法。
不過既然方程式就在那，每個看懂的人都可以提自己的解釋，
更棒的是這些解釋可能並不互斥。

Boussinesq體認到：(在地球上)水平方向上的密度變化造成的影響不大。
更正確的說法應該是地球的重力太強了，
強到只要水平方向有密度變化，流體就會自行調整，
這種調整總是傾向於把差異弭平。
(嚴格來說是壓力變化，但在大氣中的壓力和密度，溫度有關，
我想用密度來說明大概無傷大雅。
現實的大氣或海洋中，還需要考慮potential temperature，
含水量，或鹽分，那又是另外好幾個故事了。)

舉個例子，桌面上倒水，水會散開而不是聚在一起，
水太多的話還會流到地上，
這是因為重力，或者說水本身的重量不允許它們聚在一起。
畢竟流體和剛體不同，分子間沒有結構，只要有力作用就會流動(所以才叫流體)。
桌上的水太少的時候，水可能就停在桌面上，
這時候可以觀察到在水的邊緣有水平的密度變化(白話：有水和沒水)，
這種情況下水的重量太小，和本身的內聚力達成平衡。
但這種平衡在大尺度時根本不可能達成。
這種調整是由水平的pressure gradient force造成，但pressure源自於重力。
因為有重力的存在，
所有水平方向上的差異總是會在很短的時間內被調整成平衡。
(我彷彿能聽到有人在耳邊強調pressure和重力有多麼的不同，
其中一個證據是重力有方向性而pressure沒有，
不過任何人都不能否認某處的pressure和其上方的流體的重量是相等的。)

但是但是但是，也因為重力太強了，
些微的密度差異在垂直方向上可能會造成很強的力。
所以Boussinesq提出在z方向的方程中保留密度變化。
It turns out to be pretty good。
別的不說，我們很輕鬆就能導出浮力項。
說的遠一點，在討論密度不均勻的環境中的內波(internal wave)時，
reduced gravity的表示式和浮力項如出一轍。

結論：Boussinesq Approximation能把方程式大幅度簡化，同時卻又能保留很多物理。

題外話。
我有兩個老闆，
這禮拜其中一個老闆帶我讀另一個老闆在2008寫的paper。
Paper裡藉由計算一個(假想的)氣塊上升時受到的浮力來討論深對流形成的可能性。
計算浮力的公式和Boussinesq導出的浮力項是相同的是相同的。
從Boussinesq Approximation問世以來大概超過一百年了，
大氣學界的想法，至少在概念上，卻沒甚麼太大的改變，
這大概從側面說明Boussinesq的想法有多天才。

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