柯氏力的推導問題 - 颱風討論

這幾天比較有空，來回答下面的問題。

: ※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: : 看大氣動力學課本在柯氏力的推導章節一直卡關，想要跟各位先進請教一下。
: : Holton課本是從角動量守恆出發，結果導出
: : Du/Dt = 2Ωvsinψ + (uvtanψ)/a --------(1)
: : Du/Dt = -2Ωwcosψ - uw/a --------(2)
: : Dv/Dt = -2Ωusinψ - (u^2 tanψ)/a--------(3)
: : Dw/Dt = 2Ωucosψ + u^2/a --------(4)
:
: 這裡要注意的是，等式 (1)-(4) 裡面的 Du/Dt 和 (dv_dt)_rot 裡的 x 分量
: 不全然相等。
:
: Curvature effect 的來源是 (dv/dt)_rot，跟科氏力或離心力都無關。因為
: 球座標中的單位向量 i, j, k 會隨位置改變，所以在對速度做全微分時，
: 速度的量值和 i, j, k 都要被微分。曲率項就是 i, j, k 被微分的結果。
:
: 用速度的 x 分量來看，就是:
: (du/dt)_rot = d(u*i)/dt = i * du/dt + u * di/dt
: ^^^^^這個才是等式 (1),(2) 裡的 Du/Dt
:
: 推 s93015a :Curvature effect和離心力有關喔！ 06/10 19:37
: 推 s93015a :u^2/r不就是離心力嗎？ 06/10 19:39
: → walaykao :不是。u^2/r 這項是 di/dt 的結果之一。 06/10 20:34
: → s93015a :可以請問u di/dt的物理意義嗎？ 06/10 22:26
: → s93015a :我來說的話，就是離心力 06/10 22:26

退萬步言，假設曲率項真的是離心力好了，你能解釋一下 uw/r 為何是離心力嗎？

: di/dt 的物理意義是座標轉換。
: u * di/dt 是可以把它當作一種假力，但跟旋轉完全無關，所以不會被叫做離心力。
:
: 具象一點來說，曲率項跟如何在球座標裡描述一條直線有關。
: ※ 編輯: walaykao (58.115.137.236), 06/11/2014 01:27:43
: 噓 s93015a :跟旋轉完全無關...？誰來評評理... 06/11 12:56
: → s93015a :明明就只跟旋轉有關 06/11 12:57
: → e20288 :u本身就是繞著地球在旋轉的氣流不是嗎？ 06/11 13:22

不。對地球上某處的觀察者來說，u 是平行緯度的切線方向風。要注意，u 和 v
是根據局地的 cartesian 座標定義的，跟實際大氣的風是不是繞著地球轉無關。

舉個例子來說，若高空有一道緯向噴流，在我正上方的部分可以只用 u 來描述，
但在我東方一百公里處的噴流就得用到 u 和 w 了。

: → Indigoa :不太對，你在空間的座標轉換上怎麼會有時間的因次 06/12 12:29

要注意的是，我上面講的是全微分，雖然局地的垂直座標不是時間的函數，但
平流項還是會發揮作用，也就是

di/dt = u * di/dx

所以 (du/dt)_rot 才會出現 u^2 或 uw 這種項。

: → Indigoa :你如果要說i會隨著時間改變所以引入t項，然後以此建 06/12 12:40
: → Indigoa :一個新的運動座標，那就你成功引入旋轉的概念 06/12 12:40
: 推 s93015a :純推I大 06/12 13:01

看來一般性的抽象原則可能不容易理解，那我舉個例子讓各位想一想好了。

為了簡化，先不考慮重力和摩擦力。假設在風洞中有個假想的不旋轉的球面，
風洞中的氣流現在被施加了一個額外的氣壓梯度力，在這個球面上的觀察者要
如何描述這個氣壓梯度力？

在這個例子中，沒有任何東西在旋轉，自然不會有科氏力和離心力。但這個
觀察者仍然需要曲率項才能描述氣壓梯度力；也就是我先前說的，如何在球
座標中描述一條直線的問題。

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We also know how cruel the truth often is,
and we wonder whether delusion is not more consoling.
-- Henri Poincare

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