布希內斯克近似 Boussinesq Approximatio - 颱風討論

原文恕刪

Boussinesq近似是一個準平衡近似。假設大氣有一個不變的靜力平衡態，而我們所關心的
是大氣狀態稍微偏離靜力平衡態的變化。Boussinesq近似的目的是在此假設下將大氣變化
線性化以求解析解。

以下轉自telnet://bbs.as.ntu.edu.tw Allstudy版，

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[作者] s93015a (水瓶珩) [看板] Allstudy
[標題] [共筆] 流體力學筆記 微擾分析之靜力平衡
[時間] Sun Feb 16 01:36:05 2014
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∂ρ/∂t=-U‧▽ρ-ρ(▽‧U)

∂U/∂t=-U‧▽U-gk-(▽p)/ρ

p^(1/γ)=ρRθpr^(-κ)

cpdlnθ/dt=0

以上是慣性座標中無外力、無耗散的大氣原始方程

求非線性偏微分方程式的解有兩種方法：數值分析和微擾分析，而後者較簡單，是接著的
重點。所謂微擾分析，就是先求平衡態解，再求微微偏離平衡態的解。在數學上，就是將
變數對時間在平衡態上展開，再忽略二次以上的項，如此做的好處是將非線性
方程式線性化，一定有解析解，壞處則是無法求過度偏離平衡態的解(所謂微微偏離平衡態
的定義就是高次項比一次項小至少一個尺度)

先求靜力平衡態，所謂『靜力』即U=0，『平衡』即變數無時變率：

gk+(▽p)/ρ=0

在直角坐標上展開：

∂p/∂x=0

∂p/∂y=0

ρg+∂p/∂z=gp/RT+∂p/∂z=ρg+∂(RTρ)/∂z=0

就大氣而言，壓強和密度主要是高度的函數，而溫度隨高度的變化則較不顯著。讓我們求
『靜力平衡所伴隨的壓強函數』，方法是先考慮靜力平衡態壓強p0為高度坐標Z的函數：

g/RT+dlnp0/dZ=0

再沿高度坐標Z從地面Z=0(在此使用p0(0)這個邊界條件)積分到實際高度Z=z

p0(z)=p0(0)exp(-z/H)

其中尺度高H為RT/g在lnp0坐標上的平均

同理，讓我們求『靜力平衡所伴隨的密度函數』，方法是先考慮靜力平衡態密度ρ0為高度
坐標Z的函數：

g/R+d(Tlnρ0)/dz=0

再沿高度坐標Z從地面Z=0(在此使用ρ0(0)這個邊界條件)積分到實際高度Z=z

ρ0(z)=ρ0(0)exp(-z/H')

其中尺度高H'雖在數學上與H完全不同，但實際上非常近似(因為溫度隨高度的變化不顯著)

為何要求靜力平衡態呢？想像重力與壓強梯度力拔河，兩力大部分互相抵消，而我們所關
心的是不互相抵銷的部分，故求靜力平衡態以得互相抵銷的部分，不互相抵銷的部分會在
下篇說明，這篇會更深入說明靜力平衡態的特徵和意義

首先，靜力平衡態最重要的特徵就是分層性：重力非常巨大，壓強梯度力為了與之抗衡，
壓強隨高度指數遞減，連帶著密度隨高度指數遞減

其次，必須澄清定義靜力平衡態不需要額外的假設！如同定義位溫只不過定義絕熱條件下
的溫度而非假設絕熱，定義靜力平衡態也只不過定義靜力平衡下的狀態而非假設靜力平衡

不過，靜力平衡態還是有適用條件：∂p/∂z>>∂p/∂x~∂p/∂y，也就是壓強變化的水平
空間尺度遠大於垂直空間尺度。換句話說，在系統分層性不顯著的條件下，靜力平衡態就
不好用了(只是不好用，不是不成立)。

最後，分層性使靜力平衡態變成特別指垂直方向。此後再提到靜力平衡態只保證垂直流速
平衡態為零，不保證水平流速平衡態為零

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[作者] s93015a (水瓶珩)
[標題]
[時間] Tue Feb 18 20:59:39 2014
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延續上篇所提到的平衡態，建立描述微微偏離平衡態的方程組。首先，把每個變數分解為
基本場(平衡態，z的函數)和擾動項(t,x,y,z的函數)：

V=V0+V'

w=w'

ρ=ρ0+ρ'

p=p0+p'

θ=θ0+θ'

其中V為二維流速向量(V≡ui+vj)，代入原始方程：

∂ρ'/∂t+V0‧▽ρ'+w'(dρ0/dz)+ρ0(▽‧U')+U'‧▽ρ'+ρ'(▽‧U')=0

∂u'/∂t+V0‧▽u'+w'(du0/dz)+(∂p'/∂x)/ρ0+U'‧▽u'+(∂p'/∂x)ρ'/ρ0^2=0

∂v'/∂t+V0‧▽v'+w'(dv0/dz)+(∂p'/∂y)/ρ0+U'‧▽v'+(∂p'/∂y)ρ'/ρ0^2=0

∂w'/∂t+V0‧▽w'+U'‧▽w'
+g+(dp0/dz)/ρ0+(∂p'/∂z)/ρ0-(dp0/dz)ρ'/ρ0^2-(dp'/dz)ρ'/ρ0^2=0

p'/γp0=ρ'/ρ0+θ'/θ0

∂θ'/∂t+V0‧▽θ'+w'(dθ0/dz)+U'‧▽θ'=0

其中1/(ρ0+ρ')經泰勒展開為(1-ρ'/ρ0)/ρ0，狀態方程則先取對數再微分
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接著是微擾分析的精隨。以簡例說明，一長方形長A寬B，隨時間變化，平衡態長A0寬B0，
A=A0+A'，B=B0+B'：



A0B0 A'B0


A0B' A'B'

若我們所關心的是長方形面積隨時間的變化，藍色是平衡態故不隨時間變化，只要擾動項
比平衡態小一個尺度，綠色就比紅色小一個尺度，故綠色忽略不計
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把g+(dp0/dz)/ρ0=0代入上式並消除所有非線性項(綠色)，得線性化的大氣原始方程：

∂ρ'/∂t+V0‧▽ρ'+w'(dρ0/dz)+ρ0(▽‧U')=0

∂u'/∂t+V0‧▽u'+w'(du0/dz)+(∂p'/∂x)/ρ0=0

∂v'/∂t+V0‧▽v'+w'(dv0/dz)+(∂p'/∂y)/ρ0=0

∂w'/∂t+V0‧▽w'+(∂p'/∂z)/ρ0+gρ'/ρ0=0

p'/γp0=ρ'/ρ0+θ'/θ0

∂θ'/∂t+V0‧▽θ'+w'(dθ0/dz)=0

就尺度分析而言，大項乘以大項得平衡態為零，小項乘以小項太小而忽略不計，大項乘以
小項則是主宰時變率項的關鍵，這無比重要！大氣動力學的準地轉近似會用到相同的觀念

讓我們回過頭來思考靜力平衡近似的意義：並非沒有垂直加速度，而是重力和壓強梯度力
實在太大，使真正反映在垂直加速度的是(∂p'/∂z)/ρ0和gρ'/ρ0這兩個大項乘以小項

最後，我們已經越來越接近解析解了！！！

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最後，Holton第四版5.1.1的五條Boussinesq方程式，只要進一步假設：

考慮科氏力(表示我們所關心的時間尺度不小於地球旋轉的時間尺度)和摩擦力(其實不太懂
為什麼這裡考慮摩擦力)

平衡態無垂直風切，du0/dz=dv0/dz=0

密度擾動只和位溫有關！！！(表示我們所關心的時間尺度遠大於聲波時間尺度)

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