關於高低層分離 - 颱風討論

※ 引述《s93015a (水瓶珩)》之銘言：
: ※ 引述《mark0204 (Mark)》之銘言：
: : 這就是我會想回這篇文章的重點了
: : 「渦旋在流體中不斷掉」
: : 在絕熱、無摩擦、水平尺度遠大於垂直尺度的「假設下」
: : （我依稀記得這好像是淺水方程的假設？不太確定......）
: : 這論點應該可以成立
: : 但是這系列討論，主要是針對最近的杜鵑颱風西行過山的實際天氣分析
: : 上段三點假設皆難以成立
: : 也就是說，實際發生的天氣跟理論簡化下的推論，已經有明顯的差異存在
: 再次建議複習一下向量分析。「渦旋在流體中不斷掉」這個理論的必要條件很簡單，就是
: 三維空間中片段連續可微的速度場，而這個條件剛剛好就是可以分析渦旋的必要條件，故
: 只要可以分析渦旋，渦旋在速度場連續可微的空間中就可以繼續延伸而不會斷掉，一直到
: 速度場不再連續可微為止
再次建議複習一下向量分析。「渦旋在流體中不斷掉」的必要條件非常不簡單，
速度場在三維空間中無窮次連續可微也不見得能保證「渦旋在流體中不斷掉」，故即使
可以分析渦旋，也不保證渦旋能繼續延伸而不會斷掉。

複習一下「渦旋在流體中不斷掉」這個理論的證明是怎麼回事吧！以下節錄Chorin and
Marsden, A mathematical introduction to fluid mechanics (3e), pp.26-28.
首先證明Helmholtz定理，這是個可以嚴格證明的數學結果。定理說在同一個vortex
tube上的兩個closed curve，當流體為"isentropic"時，兩個curve上的circulation
必須相同。這裡的isentropic有數學上的定義，和大氣/海洋領域的定義不盡相同。
但在數學上重要的是沒有不可逆的耗散，像是摩擦或熱傳導發生，對應到一般所說的
絕熱且無摩擦算是相當貼切。

「渦旋在流體中不斷掉」是從Helmholtz定理"推導"出來的。這裡的"推導"
並不嚴格。即使是在Chorin and Marsden書中也沒有細節可以引用。
我直接引下面這段話：

A vortex tube with nonzero strength cannot "end" in the interior
of the fluid. It either forms a ring (...), extends to infinity,
or is attached to a solid boundary. The usual argument supporting
this statement goes like this: suppose the tube ended at a
certain cross section S, inside the fluid. Because the tube
cannot be extended, we must have xi=0 on C1. Thus the strength
is zero - a contradiction.
This "proof" is hopelessly incomplete. First of all, why should
a vortex tube end in a nice regular way on a surface? Why can't it
split in two, as in Figure 1.2.7? There is no a priori reason why
this sort of thing cannot happen unless we merely exclude it by
tacit assumption. In particular, note that the assertion often
made that a vortex line cannot end in the fluid is clearly false
if we allow xi to have zeros and probably is false even if xi
has no zeros (an orbit of a vector field can wnader around forever
without accumulating at an endpoint - as with a line with
irrational slope on a torus)[註：In particular後面這幾句話可能
不太好懂，如果有修過高微，看過一些奇怪的反例的話，這段的意思就
很清楚]
Thus our assertion about vortex tubes "ending" is correct if
we interpret "ending" properly. But the reader is cautioned
that this may not be all that can happen, and that this
time-honored statement is not at all a proved theorem.


雖然Chorin and Marsden是很老的書了，我也未曾聽說最近這幾年有人嚴格證明
「渦旋在流體中不斷掉」這個命題。撇開嚴格證明不談，這個命題要成立，確實需要
一些像是絕熱，無摩擦之類的條件。

再次撇開嚴格證明不談，LES模擬和水槽（游泳池）實驗都顯示在近似"絕熱及無摩擦"
時這個命題應該是對的。

在討論颱風過山時渦旋是否會斷掉，我認為現有的觀測和模擬都還不足以支持或否定
這個命題。到最近為止我讀到（在大氣海洋領域）最大的LES是Khairoutdinov et al.
在2009年的兩篇關於深對流的模擬，domain是205*205*18(?)km。再過幾年說不定
能用LES計算颱風過山的問題。大概要等到那時候才能知道渦旋是否會斷掉。


: : 有興趣的話，可以參考 Peng等（2012，Mon. Wea. Rev.）的論文
: : 這篇是在分析西行颱風過山的「不連續路徑」
: : 其中（我不會上色，就把重點以 ~ 標記）
: : 「Before the surface center of a tropical cyclone crosses the CMR, a
: : ~
: : secondary cyclonic vortex or low pressure center may appear on the
: : ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
: : opposite side of the CMR. If the original surface center of the tropical
: : ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
: : cyclone vanishes during the crossing and the secondary center
: : ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
: : subsequently becomes the dominant surface center, the surface track of
: : ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
: : the tropical cyclone is discontinuous (see Fig. 1b for some examples).
: : Otherwise, the surface track is continuous unless the whole tropical
: : cyclone completely dissipates over the island.」
: : 也就是說，西行過山颱風，可能先出現渦旋高低層分離（上層過山，下層滯留消散）
: : 過山後，再出現另一個地面中心（次中心）
: : 所以，應該有高低層渦旋分離的現象出現
: : 至於原地面中心與新生的地面次中心，也可以說成兩個渦旋
: : 但是實務上，並不會因此而定義為兩個颱風......
: 我不敢說實際上發生什麼事，但如上所說，若可以分析出渦旋如下圖：
: ↑
: ↑
: 我們應該問的是：各個箭頭的兩端為什麼斷掉了呢？為什麼不繼續延伸了呢？
: 原因可能是在往下就是地面了(不再連續可微)，或是觀測資料不足，難以分析了，然而，
: 若原因是後者，我們心中應該想到，此渦旋必然可以繼續延伸，但我們需要更多觀測資料
: : 請參考 Chang等（1998，Mon. Wea. Rev.）
: : 或者在台大總圖找 侯喜真（1998，博士論文）
: : 垂直方向傾斜，是因為中緯度天氣系統的主要能量來源為斜壓能量轉換
: : 但是若天氣系統的能量來源主要不是由斜壓能量轉換而來，就不一定會傾斜
: : 上述兩篇文章提到的其他方式（潛熱釋放、對流層頂折疊、垂直重疊）
: : 以位渦的分析圖去看，就會很容易分辨出來這幾類於垂直方向上的差異
: : 是否是我「曲解」，看你怎麼認為啦
: : 原文討論這部份，主要是對於「渦旋在流體中不會斷掉」的「註」
: : 就如同我第一段的回覆
: : 我是想再次提醒「簡化後的理論基礎」與「實際發生」的差異
: : 最後，在多回一下：我個人並不認為「高低層分離」一詞有不妥
: : 因為你似乎已經認定這個杜鵑颱風過山時，高低層是傾斜的（希望我沒解讀錯）
: : 但是就我前面提及的Peng等（2012，Mon. Wea. Rev.）的論文
: : 西行颱風的確可能出現高低層分離，而使得颱風路徑呈現不連續
: : 我不太相信杜鵑颱風在過山時是傾斜的......
: : 因為有傾斜的話，表示地形東側低層的渦旋留在原處，而高層渦旋持續西移
: : 當高層渦旋中心移至台灣海峽時，地面渦旋中心會在哪裡？
: : Mark
: 最後，請mark大大注意對文字的理解，別再曲解人意了
: 當有人說『只要某條件成立，某理論就成立』時，就表示該理論的成立不需要其他條件，
: 不要自己亂加什麼絕熱無摩擦
: 還有我從來沒有想要討論渦旋過山，我心中非常清楚這是個難題，但我知道當有人分析出
: 斷掉的渦旋時，我們應該搞清楚這樣的分析結果來自邊界條件或資料不足，不是物理上真
: 的斷掉

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